La luminosità dei corpi celeste: la magnitudine

• 20/03/2023
• 19846 (Ultima: 20/03/2023 13:00:55)
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La luminosità dei corpi celeste: la magnitudine

La differenza più evidente tra le stelle quando si guarda il cielo è data dalla differente luminosità di ciascuna di esse. Molto spesso è legata alla distanza ma altre volte è espressione della vera potenza di una stella. La luminosità si esprime in magnitudini e in base all'oggetto e allo scopo abbiamo diverse tipologie di magnitudine.

Definizioni e concetti di base

Spessissimo in astronomia si fa riferimento alla radiazione proveniente dai corpi celesti parlando, appunto, di radiazione, magnitudine, luminosità, brillantezza. Sono tutti concetti uguali?

L'unità di misura dell'intensità luminosa è la candela (cd), le cui caratteristiche sono stabilite da convenzioni internazionali e che è approssimabile - in maniera molto imprecisa - con una classica candela di cera.

Una candela irradia il flusso luminoso in tutte le direzioni creando una sfera di luce la cui superficie ha un'area pari a 4π (pari a 12,6) moltiplicato per il quadrato del raggio r. Quindi, la sfera viene immaginata composta da 16 coni i cui vertici si incontrano al centro della sfera stessa. La base di ciascun cono è detta steradiante ed è una calotta sferica la cui superficie è la 12,6esima parte della sfera intera, quindi la sua area è pari al quadrato del raggio.
La parte del flusso luminoso che cade in ciascuno di questi coni è detta lumen (lm), che quindi è definito come flusso di luce emesso da una candela in uno steradiante. Una candela, quindi, emette in tutto lo spazio un flusso di 12,6 lumen. Man mano che ci si allontana dal vertice del cono la luce perde in intensità. Ad esempio, a 4 metri si riceve un illuminamento pari alla metà di quello ricevuto a 2 metri.

Il lumen è il flusso di luce emesso da una candela in uno steradiante, che a sua volta è la base di ciascuno dei 16 coni che compongono la sfera di luce irradiata da una candela.

Il grado di illuminamento ricevuto è definito come lux.

Il lux è l'illuminamento ricevuto da una superficie di 1 metro quadrato da una sorgente che emette il flusso luminoso di 1 lumen.

Quindi:

1 lux = 1 lm / m²

L'illuminamento quindi decresce con il quadrato della distanza.
Per completezza, la brillanza si riferisce invece alla superficie che irradia la luce e non a quella illuminata, e si misura in stilb, definito come la brillanza di una sorgente da una candela, che ha come superficie radiante di 1 centimetro quadrato.
Alzando la testa al cielo notturno, anche in un posto che fa dell'inquinamento luminoso la propria bandiera, possiamo ancora accorgerci di alcuni aspetti. Non tutte le stelle sono uguali: alcune cambiano per colore (ce ne accorgiamo se stiamo particolarmente attenti) ma soprattutto non brillano tutte allo stesso modo. Alcune sono più brillanti delle altre.

La brillantezza di un astro dipende da due fattori: la luminosità e la sua distanza.

La luminosità di un astro è l'insieme delle radiazioni che questo emette nell'unità di tempo considerata ed in tutte le direzioni.

Sappiamo che la radiazione viene emessa a diverse frequenze, ed in tal caso la frequenza che a noi interessa è quella che cade nello spettro visibile, laddove la lunghezza di onda è compresa tra 700 mm e 400 nm.

Un parametro di riferimento è comunemente dato dalla luminosità del nostro Sole: in rapporto a questo si dice che una stella brilla quanto 150 Soli, o 2000 Soli, e così via, con la luminosità del Sole misurata in 3,9x10³³ erg/sec. Ovviamente la stima viene effettuata sui valori di luminosità assoluta, cioè di radiazione che effettivamente viene emessa dalla stella. E' ovvio che se ci basassimo su una concezione di luminosità 'visivamente percepita' il Sole non avrebbe rivali, ma il motivo è soltanto dato dalla distanza. Quindi, dire che una stella brilla quanto 2000 Soli vuol dire che se la prendessimo e la ponessimo alla stessa distanza del Sole non saremmo qui a scrivere né a leggere poiché la radiazione emessa sarebbe troppo potente per consentire la vita sulla Terra. Alpha Centauri A ha una luminosità pari a quella del Sole, ma di notte la vediamo come un puntino estremamente debole poiché distante 280.000 volte la distanza tra Terra e Sole.

La brillantezza, quindi, è la luce che raggiunge la Terra per unità di area.

La luce che abbandona il corpo celeste diminuisce la propria intensità con il quadrato della distanza. Se il Sole si trovasse ad una distanza doppia dalla Terra, quindi, apparirebbe più debole di una misura pari a 2², cioè 4 volte. Se portiamo il Sole alla distanza di Alpha Centauri A, ne diminuiamo la brillantezza di ben 70 miliardi di volte.

Immaginiamo una sfera di raggio d, centrata su una stella. L'ammontare di luce che attraversa un metro quadrato della superficie stellare è la luminosità totale divisa per la superficie totale della sfera. Ora, visto che l'area della superficie della sfera è data dalla formula 4πd², si può capire il motivo per il quale aumentando il raggio della sfera aumentiamo d e quindi l'ammontare di luminosità. Questo spiega anche il motivo per il quale la luminosità che arriva a Terra è determinata dalla distanza. Questa quantità che arriva ai nostri occhi è detta brillantezza, oppure brillantezza apparente e si misura in watt per metro quadro (W/m²).

Relazione tra luminosità e distanza

La relazione tra luminosità e distanza, e quindi la brillantezza, è data dalla formula per la quale la brillantezza b risulta pari al rapporto tra luminosità L e area della superficie della sfera (4πd²), cioè:

b = L / (4πd²)

Ad esempio, Sirio si trova ad una distanza di 8,6 anni luce e, visto che un anno luce è pari a 9,46*10¹⁵ metri, abbiamo che Sirio si trova ad una distanza di 8,6*9,46*10¹⁵m, che rappresenta la distanza d.

La brillantezza di Sirio è quindi data da: (3,86*10²⁶W )/4πd(8,14*10¹⁶m)², ovvero 1*10^-7W/m².

Questo vuol dire che un telescopio riflettore con l'area di un metro quadrato riceve un decimilionesimo di Watt da Sirio.

La fotometria è la procedura utilizzata dagli astronomi per misurare la brillantezza di una stella.

Per determinare la luminosità di una stella, al contrario, occorre conoscere distanza e brillantezza apparente. La formula diviene:

L = 4πd²b

Facendo riferimento al Sole, abbiamo:

Ls = 4πds²b

Facendo il rapporto tra le due formule, riguardanti il Sole ed una stella qualunque:

(L = 4πd²b)/(Ls = 4πd_s²b_s)

da cui:

L / L_s = (d / d_s)² b / b_s

L'unica cosa di cui abbiamo bisogno, in pratica, per determinare la distanza di una stella è sapere quanto è più grande rispetto al Sole e quanto è brillante rispetto al Sole.
Ad esempio, per una stella si trova alla metà della distanza rispetto ad una seconda stella ed è brillante il doppio otteniamo che:

(1 / 2)²*(2 / 1) = 0,5

Quindi la luminosità della prima stella è metà della luminosità della seconda stella, ma appare più brillante perché è più vicina a noi.

Ultimo aggiornamento del: 29/08/2018 12:26:52

La magnitudine e le sue tipologie

Ancora oggi, quando dobbiamo elogiare uno sportivo, diciamo che si tratta di un personaggio di "prima grandezza". Si tratta di un modo di dire che fa riferimento alla misura della brillantezza dei corpi celesti, misurata in magnitudine

Nei tempi antichi nessuno aveva i mezzi per stabilire la radiazione totale emessa da una stella , ovviamente. Il parametro di riferimento era dato dal suo brillare osservato. E' così che nel II secolo a.C. Ipparco da Nicea stilò una graduatoria delle stelle visibili classificandole in base alla loro brillantezza. Le stelle più brillanti furono considerate di prima grandezza, mentre le più deboli (appena percepite dall'occhio umano) furono considerate di sesta grandezza. Anche oggi, alzando gli occhi al cielo, la prima cosa che osserviamo è che una manciata di stelle sono molto brillanti, altre meno, altre sono molto deboli. Tutto il resto non lo vediamo.

La magnitudine di un astro è un numero che ne esprime la luminosità.

La magnitudine è, dunque, un numero caratterizzante la brillantezza, apparente oppure assoluta, di un corpo celeste , quindi non solo delle stelle. La scala attuale non ha una origine: il sistema di Ipparco, come visto, partiva da 1 ad indicare brillantezze maggiori che andavano via via diminuendo all'aumentare del valore di magnitudine, fino a livello 6. E' stato mantenuto questo dato storico e questo andamento, ma in seguito, con l'utilizzo di nuove strumentazioni, la magnitudine è stata portata anche a valori negativi ad indicare luminosità ancora superiori. Basti pensare che Sirio ha magnitudine -1,4 mentre il Sole ha magnitudine -26. Storicamente, si è sempre fatto riferimento alla brillantezza percepita dall'occhio umano, quindi si fa solitamente riferimento alla magnitudine apparente, indicata con m.

La magnitudine assoluta è invece quella propria della stella (o del corpo celeste in genere), legata alla luminosità, e si indica con M.
Tra la magnitudine 1 e la magnitudine 6 esiste un rapporto di 100 fra le brillantezze. Un grado di differenza corrisponde ad una brillantezza che si differenzia per 2,512 gradi. Per un numero di gradini n, ci sarà un rapporto pari a 2,512ⁿ ed infatti 2,512⁵ = 100, che è il passaggio tra magnitudine 1 e magnitudine 6 (5 livelli, quindi elevato alla quinta).
In pratica, attraverso la legge di Pogson, due stelle delle quali una ha magnitudine m₁ e l'altra magnitudine m₂ avranno una differenza di brillantezza data da:

m₁ - m₂ = - 2,5 log b₁/b₂

con b₁ ed b₂ pari alle brillantezze della prima e della seconda stella.

La formula implica che il rapporto tra le brillantezze apparenti (b₁/b₂) corrisponde alla differenza tra le magnitudini apparenti (m₁-m₂). Ad esempio, Sirio ha magnitudine -1,44 mentre il Sole ha magnitudine -26,8. Il rapporto tra le brillantezze è dato da: 

-1,44 - (-26,8) = - 2,5 log (b_sirio/b_sole)

da cui:

-10,21 = log (b_sirio/b_sole)

da cui ancora:

(b_sirio/b_sole) = 1/1,32*10¹⁰

Sirio, in pratica, è più debole del Sole di un rapporto pari a 13.200.000.00 di volte, sebbene sia più luminosa ma più distante.

La legge di Pogson è basata sulla legge psicofisica di Weber-Fechner per la quale la sensazione è proporzionale al logaritmo dello stimolo (un incremento percentuale dello stimolo determina un incremento lineare della sensazione).

Magnitudine apparente: magnitudine ottenuta direttamente dal'osservazione dell'astro, così come appare, senza tener conto del motivo per il quale appare così (distanza, mezzo interstellare, ecc..)

La magnitudine apparente ci dice quindi se una stella è più o meno brillante di un'altra, ma nulla ci dice circa la loro distanza e quindi circa il motivo per il quale è più o meno brillante. 

Una stima più accurata può venire dalla magnitudine assoluta, definita come la brillantezza di un oggetto posto alla distanza di 10 Parsec.

Magnitudine assoluta: valore che avrebbe la magnitudine se l'astro si trovasse alla distanza di 10 Parsec

Ponendo simbolicamente tutte le stelle alla stessa distanza, la magnitudine più o meno elevata corrisponderà effettivamente ad una luminosità più o meno accentuata. Ad esempio, Deneb del Cigno ha una magnitudine assoluta di -8,73, roba da far impallidire Sirio.

Ogni corpo celeste, quindi, è caratterizzato da una magnitudine intrinseca, che rappresenta il suo grado di luminosità assoluta e che è definita proprio magnitudine assoluta: è il valore della magnitudine di un astro se questo si trovasse a una distanza di 10 Parsec , circa 32,6 anni luce . A causa della distanza (l'intensità della luce diminuisce con il quadrato della distanza della sorgente che la emette), della materia interstellare presente tra l'osservatore terrestre e la stella e che crea estinzione , tuttavia, ciò che noi vediamo non è la magnitudine assoluta di un astro.

La magnitudine apparente sarà data dalla magnitudine assoluta diviso il quadrato della distanza del corpo celeste dall'osservatore.

L'occhio umano recepisce fino a magnitudine 6, un binocolo fino a 9, un telescopio da 200mm fino a 13,5. Hubble, il telescopio spaziale, si spinge fino a magnitudine 31. Per calcolare il guadagno di un qualsiasi obiettivo rispetto all'occhio umano basta calcolare il rapporto dei quadrati dei diametri, che per l'occhio umano è 7 millimetri al meglio della condizione. Ad esempio, uno strumento con diametro di 7 centimetri avrà un miglioramento di 100 volte, dato da 4900/49 = 100.

Relazione tra magnitudine assoluta e magnitudine apparente

Magnitudine assoluta M e magnitudine apparente m sono legate da una relazione, per la quale:

m - M = 5 log d - 5

dove d è la distanza della stella in Parsec mentre (m - M) è la distanza in modulo. Per Sirio, ad esempio, si ha:

M = m - 5 log d + 5 = -1,44 - 5log(2,63)+5

da cui M è uguale circa a 1,46.

La formula ci consente anche di determinare la distanza di un astro una volta note le due magnitudini, e proprio questa formula ci consente di applicare il metodo di calcolo della distanza basato su candele standard, come quello delle Cefeidi e delle supernovae.
Come si legano le definizioni di candela, lumen e lux con la magnitudine?
La luce prodotta da una candella alla distanza di 1 metro produce un illuminamento pari a quello di una sorgente di magnitudine -14, quindi 1 lux = -14 magnitudini. Ne segue che il Sole equivale a 100.000 lux (-26,8 di magnitudine), mentre la Luna Piena, di magnitudine -12.7, corrisponde a 0,25 lux.
Il calcolo è semplice: (Mg + 14,2) / -2,5 è l'esponente al quale elevare 10 per ottenere il valore in lux, cioè:

lux = 10^{(Mg + 14,2)/-2,5}

E' interessante sapere a quanto corrisponde la luminosità di una stella in termini di distanza della candela: una stella di magnitudine 6, ad esempio, corrisponde ad una candella posta a 10 chilometri di distanza da noi. Per ottenere il risultato si vede la differenza di magnitudine tra -14 (equivalente a 1 lux) e la magnitudine della stella (posta a 6 come esempio). La differenza si divide per 2,5 e, nel nostro caso, si ottiene 20 / 2,5 = 8. Eleviamo 10 al numero ottenuto (nel nostro caso 8) ottenendo un valore del quale calcolare la radice quadrata per ottenere i metri di distanza della candela (nel nostro caso 100 milioni, che porta a 10.000 metri e quindi a 10 chilometri). Hubble, osservando stelle di magnitudine 31, osserva candele poste a un milione di chilometri di distanza.

Magnitudine integrata e luminosità superficiale

Sulle schede dei corpi celesti diffusi come le galassie e le nebulose si trovano magnitudini pari a 7, 8, e valori che lasciano credere che, inquadrando l'oggetto nel telescopio, si possa assistere ad uno scenario di luce corrispondente a quello osservabile puntando stelle di stessa magnitudine. Poi si punta il telescopio e si resta delusi.

In realtà la magnitudine che si legge associata ad un corpo diffuso è la magnitudine integrata, calcolata come se tutta la luce proveniente dal corpo celeste derivasse da un oggetto puntiforme. La luminosità dell'oggetto, quindi, viene misurata come se fosse concentrata tutta in un punto.

La magnitudine integrata è il totale flusso di luminosità emesso dal corpo celeste diffuso dando per ipotesi che esso sia puntiforme come una stella.

In realtà ciò che ci appare è, invece, questa luminosità suddivisa per l'area superficiale del corpo celeste: maggiore è la dimensione apparente del corpo celeste e maggiore è la superficie per la quale la magnitudine integrata va divisa, e di conseguenza tanto più il corpo celeste stesso ci apparirà debole. E' chiaro che in tal caso uno strumento con una apertura generosa, in grado di acquisire più luce, riuscirà a renderci l'osservazione migliore.

Esiste una formula per il passaggio dalla magnitudine integrata alla luminosità superficiale per quanto riguarda le galassie:

V = VT + A + 2,5 log (a b) - 0,26

dove V è la luminosità superficiale, VT è la magnitudine integrata della galassia, a e b sono l'asse maggiore e l'asse minore della galassia espressi in secondi d'arco (ovviamente asse maggiore ed asse minore apparenti).
A è una costante che dipende invece dal tipo di galassia. Il suo valore è 0,25 per le galassie ellittiche, 0,13 per le lenticolari, 0,11 per le galassie a spirale.

Altri tipi di magnitudine

Completano il quadro:

• Magnitudine visuale: magnitudine ottenuta tramite osservazioni visuali effettuate con un fotometro.
• Magnitudine fotoelettrica: magnitudine apparente ottenuta da osservazioni effettuate con un fotometro fotoelettrico.
• Magnitudine fotografica: magnitudine apparente ottenuta tramite osservazioni basate su una normale lastra fotografica.
• Magnitudine fotovisuale: magnitudine ottenuta tramite osservazioni basate su lastra fotografica con gamma di sensibilità uguale a quella dell'occhio umano.

Ultimo aggiornamento del: 29/08/2018 14:30:15

Le stelle più brillanti del cielo

Il cielo è pieno di stelle brillanti e quelle che brillano di più in genere hanno un nome proprio e sono facilmente rintracciabili nella sfera celeste.

Ultimo aggiornamento del: 29/08/2018 14:50:51