Il moto dei corpi celesti, Leggi di Keplero e Gravitazione Universale
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Il moto dei corpi celesti, Leggi di Keplero e Gravitazione Universale

Il moto dei corpi celesti affascina e interessa da sempre la mente umana, da Stonhenge fino alla Legge di Gravitazione Universale passando per il modello geocentrico e quello di Copernico. Le leggi di Keplero e la Meccanica Celeste che nasce con Newton.

Una introduzione al moto dei corpi celesti

Il moto dei corpi celesti è passato dall'osservazione alla più precisa predizione attraverso lo studio di tanti uomini nel corso del tempo.

Finora si è parlato della sfera celeste come di un tutt'uno: tutti gli astri visibili in base allo strumento a disposizione (occhio o Hubble Space Telescope che sia) sono stati proiettati su uno stesso immenso schermo che circonda l'osservatore, con movimenti dipendenti dai moti terrestri e quindi solidali per tutta la sfera. Tutti gli astri si muovono allo stesso modo, quindi, dipendentemente dal moto terrestre e dalla posizione dell'osservatore sul globo. 
Non c'è nulla di sbagliato, ma tutti i corpi celesti sono dotati di un moto proprio legato a questioni fisiche e così a fronte di oggetti distantissimi come una stella  o una galassia , che anno dopo anno ci appaiono sempre nella stessa posizione, abbiamo corpi molto più vicini come pianeti, asteroidi, comete e Luna i cui spostamenti rispetto alle stelle fisse sono evidenti anche a occhio nudo, in tempi brevi, in misura maggiore o minore in base - sempre - alla distanza. I corpi celesti, sebbene artificiali, per i quali lo spostamento risulta nettamente evidente data la distanza ridotta sono i satelliti artificiali: chi più chi meno tutti abbiamo visto la Stazione Spaziale Internazionale solcare il cielo in un movimento decisamente veloce, visto che copre l'intero globo nello spazio di novanta minuti (quando passa la ISS). 

Il chiaro moto della Stazione Spaziale Internazionale sulla sfera celeste. Crediti Barbara Mantegazza
Il chiaro moto della Stazione Spaziale Internazionale sulla sfera celeste. Crediti Barbara Mantegazza

Lo spostamento di un corpo celeste è indotto dalla gravità, la quale ai fini dello spostamento visibile sulla sfera celeste si concretizza come un movimento bidimensionale di un corpo celeste rispetto al movimento della sfera tutta, quindi rispetto al movimento delle stelle "fisse".
Ai fini della sfera celeste, quindi, hanno rilevanza soltanto i moti propri che comportano, secondo il punto di vista osservativo, un movimento orizzontale o verticale (o la somma diagonale dei due movimenti). Non hanno rilievo gli spostamenti verso l'osservatore e quelli in senso opposto, visto che un oggetto che ci viene contro può muoversi verso di noi senza modificare la propria posizione in un piano a due dimensioni.
La misurazione degli spostamenti in due dimensioni - e quindi quelli sulla sfera celeste - viene effettuata calcolando le diverse posizioni di un corpo celeste rispetto ai corpi più distanti. La misurazione degli spostamenti nella terza dimensione, quindi in avvicinamento o allontanamento dall'osservatore, viene effettuata tramite spettroscopia .
In tutti i casi, comunque, lo spostamento di un corpo celeste avviene secondo leggi della Fisica valide in tutto l'universo conosciuto fino a scale ridottissime, oltre le quali le leggi sono scandite dalla Meccanica Quantistica.

Ultimo aggiornamento del: 25/08/2018 13:56:38

Un po' di storia

Da Stonhenge in poi l'uomo ha cercato di comprendere le regole di movimento dei pianeti, con una convinzione di svolgere un ruolo centrale che alla fine è stato abbandonato davanti alle osservazioni

La Meccanica Celeste è la branca della meccanica dedicata allo studio del moto dei corpi celesti e nel dettaglio si avvale di nozioni di Fisica e Matematica molto complesse. Sostanzialmente trova il suo campo di applicazione principale all'interno del Sistema Solare , nel cui dominio - a parte qualche "stranezza" come la precessione del perielio di Mercurio - vige la Legge di Gravitazione Universale di Newton. Si tende inizialmente a semplificare, studiando ad esempio il moto dei pianeti singoli in relazione al Sole o dei satelliti naturali in relazione al pianeta di appartenenza per poi applicare relazioni sempre più complesse derivanti dal fatto che il moto di un pianeta non dipende soltanto dal Sole ma anche da tutti gli altri pianeti. Non è un caso che si parli di "Sistema" Solare: il termine sistema indica che tutti i corpi celesti al suo interno sono legati gravitazionalmente e possono influenzarsi a vicenda. 

Stonhenge. Le pietre sembrano avere una valenza di osservatorio astronomico, con particolare riguardo ai punti di equinozio e solstizio.  La costruzione viene fatta risalire al periodo tra il 3100 e il 1600 a.C.
Stonhenge. Le pietre sembrano avere una valenza di osservatorio astronomico, con particolare
riguardo ai punti di equinozio e solstizio. La costruzione viene fatta risalire al periodo tra il
3100 e il 1600 a.C.

Il moto dei corpi celesti da sempre ha attirato l'attenzione delle menti umane e basti pensare agli esempi di Stonehenge e di Menhir per capire come già nel Neolitico si cercava di comprendere e predire questo movimento. Opera che è continuata poi con registrazioni di fenomeni astronomici e costruzioni più complesse come le Piramidi in Egitto e lo Zigurath in Mesopotamia.

Osservando il cielo, però, si rischia di intepretarne male i movimenti anche perché è difficile realizzare che il movimento della sfera celeste sia un riflesso della rotazione terrestre, soprattutto in un mondo che si sente sempre al centro dell'universo. Era più semplice pensare che tutto ruotasse intorno alla Terra e così i primi modelli elaborati puntavano proprio in questa direzione. Pitagora dispose Sole e pianeti allora conosciuti su sfere concentriche intorno a un fuoco centrale mentre Platone dapprima ipotizzò la posizione centrale del Sole ma poi ritrattò la teoria ripiegando su una Terra di nuovo centrale nell'Universo. La Terra era quindi una sfera immobile intorno alla quale erano presenti altre sfere in rotazione, ciascuna con il proprio pianeta. Sulla stessa scia erano i lavori di Talete di Mileto, di Anassimandro, di Filolao e di Eraclide Pontico e la mentalità dell'epoca, spinta dalla religione, spingeva verso una sempre più ampia affermazione del ruolo centrale dell'uomo e quindi della sua casa, la Terra. 
Il lavoro di Eudosso di Cnido fu, a tal fine, fondamentale: la Terra venne posta in una sfera centrale intorno alla quale erano presenti più sfere in moto circolare uniforme. Lavoro che poi fu abbandonato.

Ciascuna sfera del modello geocentrico aveva un moto diverso dalle altre ed era legata a un pianeta, ma dal momento che le osservazioni non si adattavano alle predizioni di questo modello, alcuni pianeti arrivavano ad avere più sfere, per un totale che alcuni misurano in 27 e altri in 33. Un sistema molto complesso che trovò però il favore di Aristotele, ideologo della Chiesa. Proprio grazie a questa condivisione il modello geocentrico sopravvisse per secoli come dogma inattaccabile.

Sistema geocentrico con epicicli e deferenti. I pianeti ruotano intorno alla Terra percorrendo un cerchio minore (epiciclo) posto sul deferente intorno alla Terra.
Sistema geocentrico con epicicli e deferenti.
I pianeti ruotano intorno alla Terra percorrendo un
cerchio minore (epiciclo) posto sul deferente intorno
alla Terra.

Le osservazioni continuavano comunque a non sposare il sistema di sfere, costringendo lo stesso Aristotele a un modello a 55 sfere. Apollonio di Perga abbandonò tutte le sfere aggiuntive dotando il sistema geocentrico di epicicli e deferenti: i pianeti erano sempre in orbita circolare uniforme perfetta (deferente) intorno alla centrale Terra, ma il centro di questo deferente non era più la Terra bensì un ulteriore cerchio chiamato epiciclo . Sebbene il deferente fosse una sfera perfetta, la Terra non era più al centro preciso di questa sfera ma un po' decentrata. In questo modo il modello riusciva a giustificare il moto a volte retrogrado dei pianeti e anche le variazioni di magnitudine degli stessi. A questo sistema di deferenti e epicicli, il Medioevo vide Claudio Tolomeo inserire il concetto di equante avvicinandosi ulteriormente a descrivere il moto reale dei corpi celesti planetari nel cielo. Nasce così la Teoria degli Epicicli.
A fronte di questa complessità comunque elevata, Aristarco di Samo portò avanti - ancor prima - un lavoro diverso ponendo il Sole al centro dell'universo e sistemando i pianeti nelle sfere concentriche: un sistema eliocentrico ancora imperfetto ma che riusciva a spiegare più facilmente alcuni movimenti che il cielo offriva in contrasto al primo modello geocentrico. Nonostante questo soltanto nel Cinquecento il modello geocentrico iniziò a essere messo in discussione in maniera seria fino all'abbandono. Niccolò Copernico giunse a definire un sistema con il Sole al centro del moto dei pianeti ma ancora dotato di epicicli mentre la svolta reale si ebbe con i lavori di misurazione della posizione di Marte operati da Tycho Brahe e continuati (e finalizzati) da Johannes Kepler. I pianeti iniziano così ad avere una orbita non più circolare perfetta ma ellittica, con variazioni di velocità orbitale legate alla distanza dal Sole.

Ultimo aggiornamento del: 23/08/2018 17:22:04

Le tre Leggi di Keplero

Il periodo di Tycho Brahe, Galileo Galileo e Johannes Keplero segna la svolta scientifica nella determinazione del moto dei corpi celesti. Finalmente le orbite planetarie trovano la corretta descrizione.

Una volta noto il periodo di rivoluzione di Marte, ben evidenziato dalle registrazioni di Tycho Brahe, era nota la sua posizione rispetto al Sole ogni 687 giorni. Quindi, Marte ogni 687 giorni si trovava allo stesso posto rispetto al Sole ma non rispetto alla Terra, visto che anch'essa nel frattempo si era spostata. Proprio confrontando la posizione della Terra rispetto a Marte e Sole, Johannes Kepler riuscì a stabilire l'orbita terrestre, scoprendola lievemente ellittica. Una volta nota l'orbita terrestre, fu semplice calcolare l'orbita di Marte, scoprendola ancora più ellittica della nostra.
Le prime due leggi di Keplero furono quindi enunciate dopo nove anni dall'incarico assegnatogli da Brahe, nel 1609 nell'opera Astronomia Nova. Si trattò (anche) di un colpo di fortuna poiché Marte era l'unico pianeta con orbita eccentrica a fornire la possibilità di uno studio simile. Mercurio, infatti, rimaneva privo di dati a causa della troppa vicinanza al Sole mentre Plutone, molto ellittico in termini orbitali, non era ancora stato scoperto. Marte era quindi l'unico pianeta in grado di consentire la scoperta dell'ellitticità delle orbite.

Prima Legge di Keplero

I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole, che è situato in uno dei fuochi dell'ellisse.

Prima Legge di Keplero. I pianeti percorrono orbite ellittiche delle quali il Sole è uno dei fuochi
Prima Legge di Keplero. Crediti Dany Gozzi

Con questo enunciato, quindi, Keplero si svincola definitivamente dal concetto di cerchio come figura perfetta che domina tutto l'universo. Il Sole, inoltre, non è al centro ma occupa un fuoco dell'ellisse.

Seconda Legge di Keplero

Il pianeta percorre segmenti traccianti aree uguali in tempi uguali.

Seconda Legge di Keplero. Crediti Dany Gozzi
Seconda Legge di Keplero. Crediti Dany Gozzi

La conseguenza della seconda legge vede il pianeta  accelerare nei punti orbitali più prossimi al Sole e decelerare nei punti orbitali più distanti dal fuoco occupato dalla stella. Questo effetto porta ad un moto non uniforme dei pianeti intorno al Sole. Nel disegno, il pianeta impiega lo stesso tempo per percorrere i due segmenti rossi, che delimitano un'area tra loro equivalente. Per percorrere un segmento più lungo nello stesso tempo di uno più corto, quindi, il pianeta in quel tratto deve andare sicuramente più veloce. Questo era quanto le osservazioni indicavano, ma il motivo di queste variazioni di velocità era ignoto. Keplero pensò ad un qualche campo magnetico, visto che in quel periodo si trattava di una nuova scoperta, ma in realtà non aveva idea di cosa potesse spingere o trattenere un "grave" deviandolo da un moto uniforme. I suoi calcoli tuttavia erano davvero corretti, e per quel periodo bastava.

Terza Legge di Keplero

Dopo 17 anni giunge la Terza Legge di Keplero, nell'opera Armonices Mundi.

Il rapporto tra il cubo dell'asse maggiore di un'orbita (distanza afelio-perielio) ed il quadrato del tempo di rivoluzione è costante per tutti i pianeti facenti parte del Sistema di riferimento (ad esempio il sistema solare).
Terza legge di Keplero

Terza Legge di Keplero. Crediti Dany Gozzi
Terza Legge di Keplero. Crediti Dany Gozzi

Questo - come farà capire Newton - dipende dalla massa dei corpi, e quindi dall'attrazione gravitazionale tra di essi. Per sistemi diversi dal Sistema Solare, basta sostituire al Sole il corpo che occupa il fuoco. Ad esempio, nel sistema dei satelliti galileiani di Giove basta porre Giove al posto del Sole per trovare che la legge è ancora valida nel suo sistema di riferimento. La legge può essere vista al contrario: se un corpo con una certa velocità viaggia su una certa orbita e se al corpo stesso viene data maggiore velocità dall'esterno, il corpo vede aumentare la propria energia e la quantità di moto e di conseguenza aumenterà il proprio raggio orbitale. Se invece sottraiamo energia al movimento del corpo, questo scenderà più vicino al fuoco dell'orbita stessa.
Come detto, il merito di Keplero fu quello di descrivere esattamente il moto di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole e, una volta che Galileo applicò l'uso del cannocchiale alle osservazioni celesti e notò i satelliti intorno a Giove, si capì che quanto descritto calzava alla perfezione anche per quel sistema solare in miniatura. E che la centralità della Terra, e dell'uomo, non avevano un riscontro in natura.

Ovviamente la massa dei pianeti non era poi così nota, ma quel che si sapeva e che era chiaro era che la massa planetaria rispetto a quella del Sole è ben poca cosa, quindi poteva essere trascurata.

Ultimo aggiornamento del: 23/08/2018 17:35:00

Newton e la Legge di Gravitazione Universale

La Meccanica Celeste nasce con la formalizzazione matematica che Newton assegna alle Leggi di Keplero. Una formalizzazione che a oggi descrive ancora molto bene i moti nel Sistema Solare

 

Isaac Newton, raffigurazoine
Isaac Newton, raffigurazione

Isaac Newton si ritrovò ad operare in una situazione fatta di svariate conoscenze da collegare in qualche modo: Keplero aveva enunciato le sue tre leggi e queste spiegavano il moto dei corpi celesti, ma si trattava di leggi puramente osservative, empiriche. Inoltre, Galilei aveva studiato l movimento dei corpi, riuscendo a capire come il loro movimento nello spazio dipendesse dalla spinta (Forza F) ricevuta. In seguito a tale forza il corpo subisce una accelerazione (a) dipendente dalla massa (m) attraverso la formula:

a = F / m 

Sono tre i fattori che potevano, anzi dovevano, essere riuniti sotto un unico aspetto alla ricerca di una legge valida in generale ed in grado di spiegare il movimento di tutti i corpi, non solo di quelli sulla Terra ma anche dei corpi celesti.
Un corpo, dice Galilei, tende a muoversi di moto rettilineo uniforme se non intervengono elementi e forze esterne. Contrariamente a ciò che pensiamo, infatti, un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme tenderebbe a non fermarsi mai. Se sulla Terra si ferma è perché esistono forze quali l'attrito con la superficie sulla quale il corpo si muove e la resistenza opposta dall'aria. Perché i pianeti non si allontanano dal Sole con moto rettilineo uniforme? Perché la Luna ruota intorno alla Terra senza mai caderci sopra? Devono esserci forze che impongono queste orbite.

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE - Due punti materiali qualsiasi si attraggono lungo la loro congiungente con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse (M1 ed M2) ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (D).

F = G (M1 M2)/D2

dove G è la costante di gravitazione universale e vale 6,67x10-11 Nm2/kg2

Si tratta di una legge del tutto identica a quella di interazione tra cariche elettromagnetiche, con l'unica differenza data dal fatto che le cariche elettromagnetiche possono essere positive o negative (possono attrarsi o respingersi) mentre la forza gravitazionale è sempre attrattiva
La Meccanica Celeste è, in ambito locale, la Legge di Gravitazione Universale di Newton e consente di fornire giustificazione teorica al moto di pianeti, asteroidi, satelliti artificiali fino al moto delle stelle doppie e delle galassie interagenti. Su campi più ampi occorre virare verso la Relatività Generale di Einstein, ma ai fini della Meccanica Celeste la Gravitazione sarà al centro del discorso.
Sappiamo che l'intento è far funzionare questa regola sia per i corpi terrestri sia per i corpi celesti, ed in effetti è così. In effetti, la genialità della Legge di Newton sta nel fatto che con una stessa elegante regola si riesce a spiegare perché Saturno orbita intorno al Sole, perché la Luna orbita intorno alla Terra, perché una mela cade dall'albero e perché un proiettile sparato ricade a terra dopo una parabola.
Sulla Terra, la formula viene semplificata dal momento che

D = raggio terrestre

(un corpo sulla superficie terrestre dista dal centro della Terra di una misura pari al raggio planetario).
Detto questo,

G(M1) / D2

esprime la forza di gravità terrestre e si esprime con g. Ne segue che:

F = g M2

che è la seconda legge della dinamica (a = F / M) dal momento che g è uguale all'accelerazione a del corpo che cade a terra. Il peso (forza che agisce sul corpo facendolo cadere a Terra) di un corpo sulla Terra dipende dalla sua massa M2.

I risvolti della Legge di Gravitazione Universale sono veramente notevoli. Innanzitutto, in termini di legge non è vero che i pianeti siano in orbita intorno al Sole, ma è invece vero che Sole e pianeti orbitino intorno ad un punto comune chiamato baricentro, dipendente dalle masse dei due corpi e dalle loro distanze. Il fatto che i pianeti sembrino orbitare intorno al Sole è dovuto essenzialmente all'immenso squilibrio tra le masse, che spinge il baricentro all'interno del diametro del Sole. Basti pensare che oggi riusciamo a scoprire l'esistenza di un esopianeta studiando proprio i movimenti della stella indotti dalla massa dei corpi in orbita. Basti pensare, ancora, a un sistema binario  di stelle dove entrambe le componenti orbitano intorno ad un baricentro comune, esterno a tutte e due i diametri stellari. L'orbita , quindi, dipende dall'attrazione gravitazionale dalle due masse. Questa attrazione diminuisce con l'aumentare della distanza, in misura proporzionale al suo quadrato (a tal riguardo, una corrente di pensiero chiamata MOND sostiene che per distante che eccedono quelle del Sistema Solare la proporzione sia lineare e non quadratica, ma le osservazioni non sembrano confermare).

Una cosa lasciava interdetto Newton: la gravità è una forza, a suo dire, in grado di produrre effetti all'infinito dal momento che non si azzera mai. Aumentando la distanza, infatti, la gravità diminuisce ma in maniera asintotica a zero, quindi si avvicina molto allo zero senza raggiungerlo mai. I dati osservativi mostravano che la gravità, inoltre, era una forza istantanea, che si sprigionava da un corpo ed attaccava subito i corpi esterni. Questo avveniva anche per distanze grandissime, ed in una situazione simile l'informazione della forza di gravità doveva viaggiare a velocità di gran lunga superiori alla velocità della luce. Ad esempio, se il Sole sparisse dal fuoco del Sistema Solare, la Terra se ne accorgerebbe istantaneamente poiché cesserebbe di colpo, all'istante, l'effetto gravitazionale del Sole con il risultato che la Terra se ne andrebbe, con tutta probabilità, a far visita al Sistema Solare esterno. Eppure se il Sole si spegnesse noi lo sapremmo soltanto dopo otto minuti, il tempo che impiega la sua luce a percorrere i 150 milioni di chilometri che ci separano dalla stella. La gravità allora è più veloce della luce?
In una lettera a Richard Bentley del 25 febbraio del 1693, lo stesso Newton scrive:
"E' inconcepibile che la materia bruta e inanimata possa (senza la mediazione di qualcosa di immateriale) agire e influire su altra materia senza reciproco contatto. Che la gravità sia qualcosa di innato, di inerente ed essenziale alla materia, si che un corpo possa agire a distanza su di un altro attraverso il vuoto, senza la mediazione di qualche altra cosa in virtù della quale, e per mezzo della quale, l'azione a distanza o la forza possa essere trasportata da un corpo all'altro, è per me un'assurdità così grande da farmi credere che nessun uomo il quale abbia una reale consapevolezza nelle materie filosofiche possa mai farla propria. La gravità deve necessariamente essere causata da un agente il quale agisca in modo costante secondo certe leggi, ma se questo agente sia materiale o immateriale è questione che lascio decidere ai lettori."
Era quindi inconcepibile il modo in cui la gravità si espandesse a distanze infinite nel vuoto. La risposta giungerà da una mente altrettanto eccelsa tre secoli più tardi: Albert Einstein.

Nel frattempo, la Legge di Newton fu messa in discussione in seguito ad una anomalia scoperta osservando il pianeta Mercurio: la precessione del piccolo pianeta infatti si discostava dalla Legge in misura di una unità su duemila. Per rispondere a questo disallineamento si ricorse a varie soluzioni, come la presenza di una luna in orbita intorno a Mercurio, oppure ad una non sfericità del Sole, oppure ancora alla presenza di un pianeta ancora non scoperto in grado di interferire gravitazionalmente su Mercurio. In fondo, quest'ultima possibilità era avallata dal fatto che Nettuno e Plutone furono scoperti proprio in seguito a discrepanze nei valori orbitali di, rispettivamente, Urano e Nettuno (in realtà, per Nettuno fu sbagliato il calcolo della massa ma tanto valse a far indagare gli astronomi dell'epoca fino a scoprire Plutone). Il problema fu risolto nuovamente e definitivamente rifacendo i calcoli all'insegna della Relatività Speciale di Einstein, della quale la Legge di Newton è una approssimazione.

A fronte di tutto questo, comunque, la Gravitazione Universale andò incontro a tantissime conferme: grazie ad essa si riuscì a capire che la cometa del 1682 fosse la stessa passata nel 1607, prevedendo al tempo stesso un prossimo passaggio per il 1758 (poi affinato al 1759 tramite ulteriori calcoli). La cometa di Halley rispettò le aspettative. Successi vi furono anche per il pianeta Cerere, scoperto nel 1801, poi perso, e quindi ritrovato grazie ai calcoli basati sulla Gravitazione Universale. Ancora, la scoperta di Nettuno del 1846 è basata sugli stessi calcoli ed anche le orbite di numerosi sistemi binari sono ben descritte dalla Gravitazione Universale.
Ulteriore prova è data dalla Luna: rispetto alla superficie terrestre, la Luna si trova a una distanza D dal centro di massa terrestre di una misura 60 volte maggiore, quindi D2 = 3600. Per la Gravitazione dovrebbe risultare una attrazione gravitazionale terrestre sulla Luna inferiore di 3.600 volte rispetto alla gravità sperimentata sulla superficie terrestre. Bene, la gravità superficiale è pari a 9,8 m/s2 mentre l'accelerazione della Luna indotta dalla Terra è di 0,0027 m/s2. Facendo i calcoli 

9,8 / 0,0027 = ~3.600.

Descritta la costante di gravitazione universale, quindi, tutto dipende dalle masse in gioco e dalle loro distanze.

Questo vale in sistemi fino a una determinata estensione, il cui valore massimo sembra quello di galassie interagenti.

Ultimo aggiornamento del: 24/08/2018 10:10:38

Relazione tra Leggi di Keplero e Legge di Gravitazione Universale

La Gravitazione Universale è la formalizzazione delle leggi empiriche di Keplero. Vediamo i legami che esistono tra le due modalità di espressione

Per quanto riguarda l'adattabilità della legge ai corpi celesti è sufficiente che la legge stessa sia in linea con i risultati empirici delle leggi kepleriane e quindi con le osservazioni: la forma delle orbite è conica (ellisse, parabola o ramo di iperbole dipendentemente da posizione iniziale e velocità).

Prima Legge di Keplero

Due corpi in orbita tra loro descrivono una conica in base ad un comune baricentro, ma se uno dei due corpi è nettamente più grande dell'altro in termini di massa il baricentro coincide con il suo centro ed allora si parla di orbita di un corpo intorno ad un altro. Nel Sistema Solare, il Sole è talmente più massiccio di tutti gli altri pianeti che accade proprio questo: gli altri corpi hanno - chi più chi meno - il baricentro del proprio moto nel centro del Sole, e la prima legge di Keplero è soddisfatta. Se si cambia sistema e si prende un sistema binario, ad esempio, si nota che il baricentro è posto tra le due compagne e tutte e due si muovono intorno ad esso. Il motivo è che tra le due compagne la differenza di massa non è, spesso, molto evidente.

Seconda Legge di Keplero

In tal caso l'applicazione è evidente. Dal momento che

F = G (M1 M2) / D2

ne segue che al diminuire della distanza la forza (e quindi l'accelerazione) aumenta.

Terza Legge di Keplero

La legge viene riformulata da Newton per le orbite circolari con:

P2(M1 + M2)= kD3

dove D è il semiasse maggiore dell'orbita, k = 4π2/G e P il periodo dell'orbita ipotizzata circolare, assumento M2 come massa solare. Nel sistema solare, la massa di un qualsiasi corpo M1 viene trascurata visto che in relazione alla massa solare tende a zero, essendo immensamente più piccola.
Ogni pianeta è soggetto nel suo moto ad una accelerazione centripeta c, che in mancanza di una forza uguale e contraria comporterebbe la fuga per la tangente del corpo, il quale uscirebbe così dall'orbita iniziando un moto rettilineo uniforme. Il corpo, tuttavia, subisce una attrazione gravitazionale pari alla velocità centripeta (detta caduta gravitazionale) che fa si da tenerlo in orbita. Le due forze si annullano ed il sistema assume una orbita stabile.
Le accelerazioni centripete sono inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze. Ad ogni accelerazione, il secondo principio della dinamica assegna una causa che è la forza impressa per avere l'accelerazione, e che è proporzionale all'accelerazione stessa. Il Sole esercita quindi sui pianeti una forza proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. La forza, secondo Newton, dipende dalle masse e da qui la formula della terza legge di Keplero rivista con le masse.

Ultimo aggiornamento del: 24/08/2018 10:35:14