La Relatività Speciale e la Relatività Generale di Einstein
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La Relatività Speciale e la Relatività Generale di Einstein

L'evoluzione più completa della previsione del comportamento dell'universo sotto l'influenza della gravità è dovuta ad Albert Einstein e alla sua Relatività, alla base della nostra attuale comprensione dell'universo, della sua forma, della sua origine e del suo futuro. Le implicazioni della Relatività sui fenomeni fisici legati alla gravità e alla presenza di masse.

La Teoria della Relatività Speciale di Einstein

I postulati della Teoria della Relatività Speciale rappresentano dei punti fondamentali per la spiegazione di molti eventi nell'universo. Si arriva alla velocità della luce e alla esistenza di uno spazio-tempo dipendente dall'osservatore

Oggi, a quasi un secolo di distanza dalla Teoria della Relatività Generale, l'Universo che vediamo è come lo ha descritto Albert Einstein.

I modelli che disegnano l'Universo dalla sua origine alla sua espansione, le leggi che governano le interazioni di gravità, massa ed energia o, più semplicemente, la spiegazione di ciò che permette al nostro Sole di splendere ogni giorno e ai nostri GPS (Global Positioning System) di non farci prendere la strada sbagliata, hanno come solida base le teorie dell'impiegato dell'Ufficio Brevetti di Berna che, all'età di sedici anni, si soffermava a chiedersi che effetto avrebbe avuto muoversi a cavallo di un raggio di luce. 

Nel 1905, con la Teoria della Relatività Speciale, Einstein ha prodotto l'equazione più famosa di tutta la scienza per poi regalarci, solo un decennio dopo, la teoria che è alla base di buona parte di ciò che conosciamo del nostro Universo: con le Equazioni di Campo della Relatività Generale sono state infatti gettate le basi per lo studio della natura dell'Universo.

Teoria della Relatività Speciale: il primo postulato

Immaginiamo due barche in mare aperto in condizioni di moto ondoso nullo: una barca è ormeggiata mentre l'altra passa accanto alla prima viaggiando in linea retta e ad una velocità costante di 40 chilometri orari. Se facessimo provare ai passeggeri sottocoperta di entrambi i natanti alcuni semplici esperimenti fisici, come far rotolare una biglia, far cadere un sasso in un catino pieno d'acqua o ascoltare la radio, gli occupanti di entrambe le barche osserverebbero gli stessi identici risultati.

Se i passeggeri avessero però come solo ed unico riferimento le leggi osservabili della fisica per capire su quale delle sue barche si trovano, nessun di loro potrebbe affermare con certezza di essere sul natante in moto o su quello in quiete: non esiste nessun esperimento che possa definire chi di loro è in moto e chi di loro è in quiete. Si tratta dello stesso effetto che sperimentiamo quando, seduti su un treno fermo alla stazione e in attesa di partire di fianco a un altro nella stessa condizione, non riusciamo a capire se ad un certo punto sia il nostro treno o l'altro a muoversi. Anche i passeggeri sul ponte della barca, se avessero come unico punto di riferimento l'altra barca, avrebbero lo stesso dubbio. Nessuno di loro sarebbe in grado di stabilire con certezza di essere sulla barca in quiete piuttosto che su quella in movimento ma potrebbero solo affermare di avere una velocità relativa di 40 chilometri orari rispetto all'altra barca.

Questo è il primo dei postulati fondamentali della relatività speciale: le leggi della scienza sono le stesse per tutti gli osservatori che si muovono a prescindere dalla loro velocità.

Le leggi della fisica, della meccanica e dell'elettromagnetismo sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocità costante l'uno rispetto all'altro in moto rettilineo uniforme (detti sistemi di riferimento inerziali)

Ecco perché per  “relativo” intendiamo tutto ciò che non ha valore assoluto ma che si definisce in rapporto ad altro.

Inoltre, se la barca in quiete iniziasse a muoversi in senso opposto alla barca già in movimento, navigando ad una velocità costante, ad esempio, di 20 chilometri orari, per la legge di addizione delle velocità, la velocità relativa tra le due barche si sommerebbe ed i passeggeri sul ponte misurerebbero in questa occasione una velocità relativa rispetto all'altra barca di 60 chilometri orari.

Teoria della Relatività Speciale: secondo postulato

La luce viaggia ad una velocità costante (c) nel vuoto di circa 300.000 chilometri al secondo pertanto, secondo la legge di addizione delle velocità spiegata nel primo postulato, se la nostra barca si muovesse verso la sorgente di luce ad una velocità di 100.000 chilometri al secondo la velocità relativa che dovrebbe riscontrare rispetto alla luce sarebbe pari a 400.000 chilometri al secondo (i nostri centomila verso la sorgente più i trecentomila che si muovono verso di noi). Invece, indipendentemente dalla velocità della barca o da quella della sorgente di luce, la velocità della luce riscontrata sarà sempre e comunque pari a circa 300.000 chilometri al secondo.

Su questo assunto si basa il secondo postulato fondamentale della relatività speciale, noto come principio di costanza della velocità della luce:

La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

I due postulati sembrano essere in evidente contraddizione tra loro: come spiegò lo stesso Einstein in occasione di una conferenza sulla Relatività Speciale, “la costanza della velocità della luce non è compatibile con la legge di addizione delle velocità”. Come spiegare l'incongruenza?

Torniamo alla nostre barche, questa volta sorprese da una tempesta di fulmini. Se due fulmini colpissero simultaneamente la barca ormeggiata in mare ed un faro sulla terraferma, l'osservatore sul ponte della barca in quiete affermerebbe con certezza che i due fulmini sono simultanei. Il passeggero a bordo della barca in movimento però, se questa si muovesse verso la terraferma, vedrebbe il segnale luminoso del fulmine che colpisce il faro prima del segnale luminoso del fulmine che colpisce la barca ormeggiata. Quindi potrebbe affermare con altrettanta certezza che i due fulmini non sono simultanei.

Chi dei due ha ragione? Tutti e due.

Sappiamo che la misura della velocità è data dalla distanza percorsa divisa per il tempo impiegato a percorrere tale distanza. Conoscendo il valore della velocità della luce e dato il valore della distanza, l'unico modo per mettere in accordo le osservazioni dei passeggeri delle nostre due barche, entrambe veritiere, è affermare che ognuno di loro ha una propria misura del tempo. Con l'introduzione di un tempo diverso per ogni osservatore, Einstein annullò la contraddizione tra i due postulati.

Non esiste un tempo assoluto ma tutti i sistemi di riferimento inerziali hanno un proprio tempo relativo

In realtà ci sono diversi attacchi alla costanza della velocità della luce nel vuoto e il più forte viene dalla fisica quantistica: la velocità della luce nel vuoto ha bisogno, appunto, del vuoto ma la quantistica ci dice che anche il vuoto è in realtà un "mezzo gravitazionale" contenente delle disomogeneità o fluttuazioni nell'ordine della Grandezza di Planck (10-33 cm). Queste fluttuazioni riescono ad agire sui fotoni in misura tanto maggiore quanto maggiore è l'energia dei fotoni stessi (Astronomy & Astrophysics, Novembre 2017). L'implicazione è che due fotoni, emessi nello stesso istante dalla stessa sorgente, potrebbero impiegare tempi diversi per giungere fino a noi se in possesso di energie differenti. Per poter provare un simile effetto, data l'infinitesima entità degli scostamenti, servono più rallentamenti ripetuti e quindi fenomeni molto energetici, di brevissima durata e molto distanti. Tra i candidati ci sono ovviamente i Gamma Ray Bursts (GRB ) ma le osservazioni effettuate a oggi non hanno rivelato alcun ritardo, quindi occorreranno nuovi campioni e sicuramente una tecnologia più estrema. Ciò che si può dire a oggi è che, con la tecnologia attuale e con le osservazioni volte, la costanza della velocità della luce nel vuoto continua a valere. 

Che la luce viaggiasse ad una velocità finita era già noto alla fine del 1600, quando l'astronomo danese Roemer, osservando le eclissi lunari di Giove, si accorse che avvenivano in tempi differenti da quanto ci si aspettasse: quando la Terra si approssimava all'orbita di Giove le eclissi anticipavano per ritardare, invece, quando la Terra era in allontanamento dal pianeta . Roemer effettuò la misurazione di queste differenze e fu il primo a dare una valore finito (seppur approssimativo) alla velocità della luce.

Lo Spazio-Tempo

Lo spazio ed il tempo, quindi, non sono più considerati "assoluti" ed "indipendenti" tra loro, ma assieme formano un tessuto quadridimensionale: alle tre dimensioni classiche dello spazio (x,y,z) viene aggiunta la quarta dimensione t che descrive lo scorrere del tempo;  i punti all'interno del tessuto vengono indicati come "eventi", poichè per ciascuno di essi abbiamo una precisa definizione temporale oltre che spaziale.

Ciascuno degli "eventi" presenti nel tessuto dello spazio-tempo ha quindi una propria misura di tempo e distanza che varia al variare del punto di osservazione. 

Abbiamo visto come il passeggero a bordo della barca in quiete veda i due fulmini colpire simultaneamente la barca ed il faro. Questo osservatore registerà pertanto un intervallo temporale tra i due eventi pari a zero.  Il passeggero a bordo della barca in movimento vede, però, il fulmine che colpisce il faro prima di quello che colpisce la barca in quiete, registrando un intervallo temporale tra i due eventi maggiore di zero: possiamo quindi affermare come nei sistemi in movimento il tempo si dilati.

La conseguenza della proporzione inversa che esiste tra tempo e distanza ci spiega inoltre un altro degli effetti relativistici, la contrazione delle lunghezze. Se volessimo misurare in un determinato istante la lunghezza delle barche tra poppa e prua, identificate con due punti "A" e "B",  un osservatore sul molo misurerebbe per la barca in quiete una distanza tra A e B pari ad 1 e per la barca in movimento una distanza tra A e B pari ad 1 meno la distanza percorsa dalla barca al momento dell'osservazione, il che spiega come mai nei sistemi in movimento le lunghezze si contraggano, con effetti tanto maggiori quanto più la velocità dell'oggetto osservato si avvicini a quella della luce, implicando effetti trascurabili nell'esperienza quotidiana.

Equivalenza massa-energia

Come descritto dallo stesso Einstein "la massa di un corpo è una misura del suo contenuto di energia [...] se un corpo emette un'energia L sotto forma di radiazione, la sua massa diminuisce di L / V2"

Se sostituiamo la L usata per rappresentare l'energia con E e la V usata per rappresentare la velocità della luce con la celeberrima c (di celeritas) e risistemiamo i fattori, otteniamo l'equazione che definisce l'energia di un corpo come pari alla sua massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce:

E= mc2

E' questa equazione che ci spiega cosa faccia splendere il nostro Sole. Come sappiamo, nell'immensa fornace del suo nucleo, le reazioni termonucleari trasformano l'idrogeno in elio;  la massa di un nucleo di elio è però leggermente inferiore alla somma delle masse dei 4 nuclei di idrogeno che servono per formarlo e questo "avanzo" di massa non viene disperso nella fusione ma si trasforma in energia. Il moto può essere considerato come una forma di energia (cd energia cinetica). Maggiore è la velocità di un corpo, maggiore è l'energia cinetica che questo corpo possiede e quindi, per l'equivalenza tra massa ed energia, tanto più aumenta la sua velocità tanto maggiore sarà la sua massa.

Se un oggetto raggiungesse la velocità della luce la sua massa diventerebbe infinita e sarebbe pertanto necessario impiegare una quantità di energia infinita per fargli raggiungere tale velocità. Ecco perchè nessun corpo dotato di massa può viaggiare ad una velocità pari a quella della luce.

Questo ulteriore assunto della relatività speciale sembra però essere incompatibile con la legge newtoniana di gravitazione universale, che descrive come gli effetti dell'interazione gravitazionale tra due corpi avvengano istantaneamente, e quindi a velocità "infinita". Come conciliare questa ulteriore contraddizione? E come renderla, poi,  ugualmente valida per i sistemi non in moto uniforme, e quindi non più "ristretta"?

Saranno necessari ad Einstein altri dieci anni per trovare una teoria della gravità che fosse in accordo con la relatività speciale, teoria che venne riassunta nella "Teoria della Relatività Generale".

Ultimo aggiornamento del: 22/04/2019 18:32:20

La Teoria della Relatività Generale di Einstein

Con la Relatività Generale il mondo cambia la propria concezione di gravità: non più una forza ma un universo curvato dalle masse, in cui le masse indicano come curvarsi e le curve stesse indicano ai corpi come muoversi.

L'articolo del 1920 sulla Relatività
L'articolo del 1920 sulla Relatività

Con la Relatività Generale sono state gettate le basi per lo studio della natura dell'Universo ed è stata regalata al mondo una nuova geometria dello spazio-tempo e della gravità.

La relatività generale è [...] la coreografia della danza cosmica che vede quali protagonisti spazio, tempo, materia ed energia. (Brian Greene)

Dopo la pubblicazione della Relatività Speciale nel 1905, era necessario trovare quindi una nuova teoria a completamento che fosse valida anche per i sistemi in moto non uniforme e che ricomprendesse una formulazione della gravitazione in accordo con la costanza della velocità della luce. I dieci anni trascorsi dalla presentazione della Relatività Speciale sono stati necessari ad Einstein per sciogliere le ultime contraddizioni lasciate dalla precedente trattazione e per racchiudere in una equazione matematica complessa ed elegante tutti i meccanismi in grado di regolare il comportamento del nostro Universo e di spiegare come "la materia dice allo spazio-tempo come incurvarsi e lo spazio curvo dice alla materia come muoversi" (J.Wheeler).

Con il  "pensiero più felice della [sua] vitaEinstein parte da una geniale equivalenza ricavandone implicazioni  fondamentali per la formulazione della nuova rivoluzionaria Teoria della Gravità non più concepita come forza ma come distorsione del tessuto dello spaziotempo.

Il Principio di Equivalenza

Nel 1907, due anni dopo la Relatività Ristretta, Einstein enuncia il principio di equivalenza, principio che stabilisce come massa inerziale e massa gravitazionale si equivalgano.

Cosa vuol dire? 

  • La massa gravitazionale è la massa che determina la misura dell'attrazione gravitazionale alla quale un corpo è sottoposto; la nostra massa gravitazionale determina, ad esempio, quale sia il nostro peso sulla Terra. Se ci trovassimo sulla Luna o su Giove saremmo sottoposti ad una attrazione gravitazionale differente e, pertanto, altrettanto differente sarebbe il peso determinato dalla nostra massa gravitazionale: per 55 kg di peso sulla Terra, ne avremmo circa 9 sulla Luna e ben 130 su Giove.
  • La massa inerziale di un corpo è invece la sua resistenza alle variazioni di moto e determina quanta forza è necessario imprimergli per farlo accelerare (o per variare il suo stato di moto): maggiore è la massa di un corpo maggiore sarà la spinta necessaria per spostarlo.

La NASA, per addestrare gli astronauti alle missioni spaziali, utilizza l'acceleratore 20G. Un razzo in accelerazione (ad esempio uno Shuttle per circa cinque minuti dal momento del decollo) sottopone il fisico degli astronauti ad una forza gravitazionale sino a 3 volte la forza di gravità della terra (3G). L'acceleratore della NASA funziona come una centrifuga: maggiore è la velocità con cui i tecnici lo fanno ruotare e maggiore sono i G a cui viene sottoposto il fisico dell'astronauta presente all'interno della cabina. In tali situazioni gli effetti dell'accelerazione sono gli stessi che l'astronauta proverebbe in un campo gravitazionale di intensità equivalente.

La centrifuga 20-G in uso alla NASA per l'addestramento dei futuri astronauti. Crediti NASA
La centrifuga 20-G in uso alla NASA per l'addestramento dei futuri astronauti. Crediti NASA

Altra situazione "simulata" si ha nell'Airbus A300, con il quale è possibile sperimentare l'assenza di gravità grazie al volo parabolico. Il pilota imprime la spinta massima ai motori del velivolo con una inclinazione precisa (circa 45°) per poi spegnerli, a quel punto l'aereo vola in caduta libera per 20/30 secondi durante i quali i passeggeri a bordo sperimentano l'assenza di peso e cominciano a fluttuare nella cabina. I passeggeri in caduta libera provano quindi gli stessi effetti che proverebbero in assenza di gravità.

Gli effetti che subisce un corpo in accelerazione sono gli stessi che lo stesso corpo subisce se inserito all'interno di un equivalente campo gravitazionale (omogeneo), così come gli effetti che subisce un corpo in caduta libera sono gli stessi che subirebbe in assenza di gravità.

Se ci trovassimo in un ascensore in accelerazione o nello stesso ascensore fermo in un equivalente campo gravitazionale non potremmo avvalerci di nessun esperimento fisico per capire quale sia la nostra condizione effettiva poichè esiste una completa equivalenza fisica tra un campo gravitazionale ed un (corrispondente) sistema di riferimento accelerato. 

La corrispondenza di gravità ed accelerazione e la relativa equivalenza degli effetti inerziali e gravitazionali che conseguenze ha sul "comportamento" della luce? e su quello del tempo?

EFFETTI SULLA LUCE - Proviamo a tracciare il percorso che compie un raggio di luce fatto passare attraverso un forellino praticato sulla parete di un ascensore. Il raggio di luce parte dalla sorgente al T0, raggiunge il foro al tempo T1 e la parete opposta dell'ascensore al tempo T2. Se l'ascensore è fermo (caso a sinistra nell'immagine che segue) il percorso tracciato è una linea retta, ma anche se l'ascensore è in moto costante verso l'alto la linea tracciata è una retta, sebbene inclinata (caso centrale). Se, invece, l'ascensore è in accelerazione (caso a destra), tracciando il percorso del raggio di luce, otteniamo una parabola.

Il percorso della luce nel caso di ascensore fermo, in moto costante e in moto accelerato.
Il percorso della luce nel caso di ascensore fermo, in moto costante e in moto accelerato.

Per il principio di equivalenza, anche in un campo gravitazionale il nostro raggio di luce traccerà una parabola, quindi la gravità curva la luce.

E' però noto da secoli che la luce si propaga in linea retta, come è possibile allora che un raggio di luce possa essere deflesso dalla gravità? Perchè è il percorso che segue ad essere curvo. Quindi la gravità curva lo spaziotempo e la luce non fa altro che seguire una traiettoria rettilinea nel tessuto curvo dello spazio-tempo. E' questa la nuova geometria della gravità.

EFFETTI SUL TEMPO - La dilatazione temporale gravitazionale è un'altra delle implicazioni derivanti dal principio di equivalenza. Proviamo, questa volta, a misurare il tempo che un raggio di luce fatto passare da un forellino praticato sul soffitto di un ascensore impiega per raggiungere un sensore posto sul pavimento. Per semplicità immaginiamo che il nostro ascensore sia alto 300.000 chilometri (ossia approssimativamente la misura che la luce percorre in un secondo) e che i raggi di luce vengano emessi con un intervallo di un secondo.

Il primo raggio 1 parte ad ascensore fermo ed impiega un secondo a raggiungere il pavimento; facciamo poi partire un altro raggio 2 sempre ad ascensore fermo, verificando come l'intervallo di tempo tra i due segnali sarà lo stesso sia all'arrivo sia alla partenza. Il terzo raggio 3 parte ad ascensore in accelerazione ed arriverà a destinazione prima di un secondo perchè il tragitto che ha dovuto compiere per arrivare al pavimento è più breve. L'intervallo di tempo tra i due segnali non sarà quindi più identico all'arrivo e alla partenza: i segnali in partenza registreranno un intervallo di un secondo, quelli in arrivo un intervallo di tempo inferiore e pertanto il tempo misurato dal sensore sul pavimento sarà (relativamente) più lungo.

Dato il principio di equivalenza la dilatazione del tempo che misuriamo in un sistema accelerato è, pertanto, al pari misurabile in un campo gravitazionale analogo, quindi la gravità rallenta il tempo.

La gravità fa scorrere più lentamente il tempo per chi si trova in un campo gravitazionale più intenso.

Le prove empiriche

Il Perielio di Mercurio

Il punto di massima vicinanza al Sole di un pianeta (perielio ) cambia la sua posizione "ruotando" attorno al sole stesso a causa delle interazioni gravitazionali degli altri pianeti che ne perturbano l'orbita , altrimenti costante.

Il cambiamento di posizione del perielio viene definito "precessione". Anche la legge di gravitazione Universale di Newton predice la precessione del perielio dei pianeti del Sistema Solare e la risultante dei calcoli matematici derivanti dalla Legge di Gravitazione Universale è corretta per tutti i pianeti eccetto che per l'orbita di Mercurio, che "precede" con una discrepanza di circa 43 secondi d'arco per ogni secolo. Questa discrepanza era già nota nel diciannovesimo secolo e Verrier (matematico ed astronomo francese famoso per aver scoperto Nettuno senza vederlo) spiegò questa discrepanza ipotizzando la presenza di un ulteriore pianeta presente nel Sistema Solare i cui effetti gravitazionali erano ritenuti responsabili della perturbazione anomala dell'orbita di Mercurio (il mitico pianeta Vulcano). La Teoria della Relatività Generale spiega perfettamente la natura di questa discrepanza, lasciano Vulcano alla mitologia: quanto più un pianeta è vicino al sole tanto più curvo è lo spazio dove esso si muove.

L'eclisse del 1919

Considerata la curvatura dello spaziotempo ad opera della gravità, le equazioni della Relatività Generale prevedevano come un raggio di luce che si fosse trovato a "passare" in prossimità del Sole sarebbe stato deflesso di circa 1.7 secondi d'arco, con l'effetto finale che la posizione appartente di una stella sarebbe stata differente rispetto a quanto normalmente osservato e misurato proprio in questo ordine di grandezza. L'eclisse  di sole prevista per il 20 maggio 1919 era una spettacolare possibilità per la dimostrazione empirica di questa previsione. Arthur Eddington, direttore dell'Osservatorio di Cambridge, era uno dei pochissimi astronomi inglesi ad aver accolto accolto con entusiasmo la teoria della relatività e riuscì a convincere l'astronomo reale a finanziare una spedizione osservativa diretta in due delle zone prossime all'equatore da dove l'eclissi sarebbe stata perfettamente visibile. 

Eddington faceva parte della spedizione diretta all'Isola di Principe ed aveva a disposizione soltanto cinque minuti per dimostrare la veridicità della

La deviazione della luce impressa dal Sole e lo spostamento apparente delle stelle durante una eclisse.
La deviazione della luce impressa dal Sole e lo spostamento apparente delle stelle durante una eclisse.

Teoria che avrebbe cambiato la storia della fisica e della cosmologia. Scattò sedici lastre fotografiche, proprio mentre il Sole oscurato dalla Luna si trovava nel mezzo del bellissimo ammasso aperto delle Iadi. Sviluppate le lastre e dopo calcoli complessi, si giunse alla conclusione epocale: la posizione delle stelle mostrava una deflessione media di 1.7 secondi d'arco e la fisica dello spazio e del tempo nel quale viviamo era cambiata per sempre. 

Le onde gravitazionali

Un altro test, molto importante, deriva dalla prima onda gravitazionale accompagnata da una controparte ottica, annunciata a ottobre 2017. Le onde gravitazionali sono una derivazione dedotta dalle equazioni di Einstein e consistono in increspature nello spazio-tempo dovuto al movimento delle masse sul tessuto dell'universo.

Il buco nero di M87

 Altra prova della bontà delle equazioni della Relatività Generale viene il 10 aprile 2019 con il rilascio della prima immagine dell'ombra di un buco nero supermassivo al centro della galassia M87. L'immagine mostra un pattern del materiale del disco di accrescimento del tutto uguale a quello tracciato dalle simulazioni basate sulle equazioni di Einstein.

I navigatori satellitari

Gli orologi a bordo dei satelliti GPS (Global Positioning System) in orbita sono corretti seguendo base ai principi della Relatività Ristretta e della Relatività Generale: senza questa indispensabile correzione il navigatore dell'auto ci porterebbe fuori strada di svariati chilometri. Alla quota alla quale si trovano i satelliti GPS il campo gravitazionale terrestre è meno intenso ed il tempo, per la Teoria della Relatività generale, scorre più velocemente di circa 45 microsecondi rispetto al termpo misurato sulla Terra. Inoltre, i satelliti si muovono più velocemente e, per la Teoria della Relatività ristretta, ciò provoca un rallentamento del tempo relativo misurato a bordo di circa 7 microsecondi. Se non ci fosse questa correzione relativistica di 38 microsecondi degli orologi dei satelliti GPS sbaglieremmo strada in una misura pari a circa 10 chilometri.

L'equazione di campo 

Dalla formulazione del principio di equivalenza alla pubblicazione della Teoria della Relatività generale passarono altri otto anni, un tempo lungo che fu necessario ad Einstein per reperire gli strumenti matematici adatti per descrivere distanze e movimento all'interno di una superficie curva ed in grado di restituire risultati validi per ogni sistema di riferimento al quale fossero applicati. 

L'equazione, in una delle sue tante varianti, si può scrivere così:

Rμν - 1/2 gμνR + Λgμν = 8πG / c4 Tμν

Sebbene la matematica adoperata per idearla sia molto complessa, proviamo a spiegare parzialmente il significato delle sue componenti non immediatamente riconoscibili: R, g e T (seguite dalle lettere greche che si pronuciano mu-nu). Rμν è il Tensore di curvatura di Ricci che serve per misurare la curvatura, R è la curvatura scalare, ovvero la traccia di Rμνg è un tensore metrico ossia uno strumento che serve a misurare la geometria di in uno spazio curvo, Tμν ci dà la misura di energia (tensore stress-energia), c è la velocità della luce nel vuoto mentre G è la costante gravitazionale di Newton e Λ è la costante cosmologica. Proprio la costante cosmologica venne introdotta da Einstein per garantire un universo statico, l'unica soluzione che ai suoi tempi era considerata accettabile. La costante fu eliminata quando Edwin Hubble scoprì che l'universo è in espansione, il che spinse Einstein stesso a sostenere come la costante avesse rappresentato l'errore più grande della sua vita. L'universo in realtà si è manifestato in espansione accelerata, il che ha determinato una nuova introduzione della costante di Einstein, evidentemente condannato ad aver sempre ragione.

Ultimo aggiornamento del: 22/04/2019 22:07:25

Implicazioni: la lente gravitazionale

Una delle principali implicazioni della Relatività Generale è il fenomeno delle lenti gravitazionali, strumenti fondamentali per l'osservazione dell'universo più distante ma anche per la scoperta di esopianeti.

Il quasar QSO 2237+035, chiaro esempio della così detta Croce di Einstein
Il quasar QSO 2237+035, chiaro esempio della così detta Croce di Einstein

Queste suggestive immagini prese da Hubble Space Telescope sono del quasar QSO 2237+0305 scoperto nel 1985 nella costellazione di Pegaso e conosciuto come “Croce di Einstein”. I quattro oggetti più luminosi non sono oggetti celesti reali ma immagini gravitazionali virtuali di un unico quasar distante circa 9 miliardi di anni luce e posto dietro una galassia circa 20 volte più vicina visibile nel centro della croce. Vediamo quindi il quasar non dove realmente si trova ma sul prolungamento dei suoi raggi luminosi che arrivano sino a noi deviati dalla massa della galassia: è il campo gravitazionale della galassia , che si trova tra il quasar e l'osservatore ,ad agire da lente gravitazionale restituendoci più immagini della fonte luminosa stessa deflettendo la traiettoria dei raggi luminosi.

La lente gravitazionale (o lensing gravitazionale) è il fenomeno che si verifica quando i raggi luminosi emessi da una sorgente di luce (un pianeta, una stella, un quasar o un’intera galassia) raggiungono l'osservatore passando attraverso il campo gravitazionale di un corpo celeste intermedio collocato lungo la linea di vista.

Animazione di lente gravitazionale
Animazione di lente gravitazionale

Ciascuno dei fasci di luce emessi dalla sorgente passa a distanze diverse dalla lente e l’immagine della sorgente ci viene restituita modificata e, in molti casi, ingrandita anche se distorta: la modifica che la massa interposta provoca nel tessuto dello spazio-tempo produce un effetto ottico simile a quello di una lente che può far apparire la sorgente sdoppiata, amplificata o deformata.  Ecco perché parliamo di lente gravitazionale: agendo come lente di ingrandimento, il campo gravitazionale dell’oggetto posto tra la fonte e l’osservatore ci permette di osservare sorgenti altrimenti invisibili perché troppo piccole o deboli.

Schema della deviazione della luce legato alla lente gravitazionale
Schema della deviazione della luce legato alla lente gravitazionale

Che un tale fenomeno possa essere presente in natura, viene predetto da Newton già nel 1704 e calcolato agli inizi del 1800 da un astronomo tedesco di nome Johann Georg von Soldner il quale, applicando la Legge della gravitazione universale ai raggi di luce, arriva a determinare un valore della deflessione della luce a causa dell'effetto lente incredibilmente simile a quello ricavato da Einstein un secolo più tardi. 

Infatti, in un articolo pubblicato nel giugno del 1911 su “Annalen der Physik” dal titolo “L'effetto della gravitazione sulla propagazione della luce”, Einstein ipotizza l’esistenza della lente gravitazionale intuendo,  ben cinque anni prima della formulazione della teoria della relatività generale, che la massa intermedia, grazie al suo campo gravitazionale, funziona come un obiettivo deflettendo la luce in modo simmetrico e questo effetto mette a fuoco la sorgente di luce proprio come se i suoi fasci di luce passassero attraverso una lente di cristallo. 

Poiché quando scrive il suo primo articolo  l'unica galassia nota è la Via Lattea , Einstein prende in considerazione il lensing che può verificarsi tra stelle o tra stelle ed un pianeta della massa di Giove e proprio per questo, nonostante l’intuizione geniale, non dà troppa importanza al fenomeno concludendo come l'effetto lente non sia osservabile nella realtà. Infatti, l'angolo di separazione tra le due immagini  (e quindi la possibilità di vedere fonte e lente come oggetti distinti) dipende dalla massa dell'oggetto lente e dalle distanze tra la sorgente e l’osservatore: poiché la separazione angolare tra i due oggetti non consente di vedere la sorgente e l’oggetto lente come due immagini distinte è estremamente improbabile che questo effetto sia osservabile dalla Terra. 

Questa conclusione viene confermata da una serie di misurazioni della luce fatte nell’aprile dell’anno successivo da Einstein ed Erwin Freundlich presso l’osservatorio di Berlino, che 
sebbene non abbiano portato a nessun risultato concreto ci hanno lasciato in eredità un preziosissimo taccuino autografo di Einstein che contiene, tra le varie altre preziosissime annotazioni, una descrizione accurata delle proprietà di base di una lente gravitazionale.

Dopo l’esito deludente delle misurazioni di Berlino, l’argomento resta accantonato sino agli anni Venti, quando Oliver Lodge, fisico britannico fra i maggiori pionieri nelle ricerche sulla propagazione delle onde elettromagnetiche e di quelle radio, ipotizza come la luce possa essere deviata e focheggiata da una lente gravitazionale, ed un fisico russo, Orest Chwolson (o Khvolson)  riporta alla luce la questione pubblicando su Astronomische Nachrichten, una delle prime riviste scientifiche internazionali di astronomia, uno studio sul fenomeno delle lenti gravitazionali definendo il risultato che si ottiene se sorgente, lente ed osservatore sono perfettamente allineati: ossia un anello (quando questo si verifica l'immagine gravitazionale viene infatti definita anello di Chwolson o Anello di Einstein).

Sollecitato da Rudi Mandl, un ingegnere tanto arguto quanto visionario, anche Einstein scrive di nuovo di lenti gravitazionali nel 1936: in una breve pubblicazione sulle pagine della rivista Science presenta le formule relative alle proprietà ottiche di una lente gravitazionale e la definizione dei diversi tipi di immagini gravitazionali dell'oggetto sorgente che si possono ottenere, ipotizzando la possibilità di osservare un anello quando una sorgente lontana è soggetta all’effetto lente di una stella di grande massa.

Ancora una volta peròl 'argomento appare tanto interessante quanto difficile da provare. L'entusiasmo della possibilità della sua esistenza viene ogni volta smorzato dalla relativa impossibilità di dimostrarlo con prove empiriche: utilizzando stelle e pianeti come fonti e oggetti lenti, il valore della deflessione calcolato rende impossibile distinguere l'immagine della fonte da quella dell'oggetto-lente. Per dimostrare empiricamente il fenomeno sarà necessario attendere la scoperta delle galassie nella seconda metà degli anni '20 e quella dei quasar ben quarant’anni dopo.

La dimostrazione di Zwicky nel 1937 e le prime lenti

Fritz Zwicky è un astronomo del California Institute of Technology che, proprio a seguito delle nebulose extragalattiche appena scoperte, ipotizza come proprio le altre galassie possano essere ottime candidate come lente e come sia possibile scoprire altre galassie focheggiate dalle galassie lenti. Le galassie sono lenti gravitazionali più potenti delle singole stelle e possono generare immagini gravitazionali dell'oggetto sorgente in grado di essere osservate separatamente (quindi con una separazione angolare maggiore). Inoltre, l’allineamento tra un oggetto fonte, l’oggetto lente ed un osservatore qui sulla Terra è molto più probabile per le galassie che per le stelle. L’intuizione è fondamentale, ma per avere una prova osservativa è necessario attendere ancora.

La scoperta dei quasar nei primi anni '60 porta ad un rinnovato interesse per la teoria della lente gravitazionale. I quasar sono tra gli oggetti celesti più brillanti e data la loro luminosità risultano visibili anche a miliardi di parsec di distanza. Queste proprietà combinate rendono la sorgente di luce di un quasar distante deflessa dal campo gravitazionale di una galassia meno lontana una candidata ideale per una lente gravitazionale osservabile. 

Il primo fenomeno osservato di lente gravitazionale è, infatti, proprio legato ad un quasar. Nel 1979 Dennis Walsh, Robert F. Carswell e Ray J. Weymann scoprono due quasar separati di circa 6 secondi d'arco (distanza che può essere paragonata alla dimensione apparente di un compact disc visto da una distanza di quattro chilometri) ma qualcosa sembra non tornare: i due oggetti  hanno spettri di emissione e di assorbimento praticamente identici, così come il redshift : non poteva che trattarsi dello stesso oggetto che ci arriva sdoppiato in due immagini gravitazionali distinte.

Immagine del doppio quasar QSO 0957+561
Immagine del doppio quasar QSO 0957+561, la prima lente gravitazionale ufficialmente riconosciuta

Dopo due anni, nel 1981 viene trovata anche la lente, una galassia quasi allineata con i due quasar (circa 1 secondo d'arco a nord dell'immagine più meridionale) con una massa dinamica di almeno 10 volte superiore a quella visibile. E' possibile stimare la massa dinamica della galassia grazie al ritardo temporale che si verifica tra le due immagini gravitazionali del quasar: i fotoni delle due immagini compiono dei percorsi differenti attorno alla galassia-lente ed arrivano a noi con una differenza di circa 420 giorni. Proprio il ritardo temporale consente di fare una stima precisa della massa dinamica della galassia e risalire alla costante di Hubble poiché, come abbiamo appena sottolineato, questo ritardo è dato dalla differenza delle distanze percorse dalla luce e quindi inversamente proporzionale alla costante di Hubble.

Macro e Microlensing gravitazionale

Nel caso del quasar  QSO 0957+561 le immagini della sorgente appaiono separate dall'oggetto lente poichè hanno una distanza angolare tale che il potere risolutivo di un telescopio consente di osservarle separate. Il Macrolensing descrive proprio fenomeni analoghi al quasar che avvengono su scala cosmica e le immagini che si formano sono a distanza angolare maggiore di 0.1 -1” e quindi separabili.

Se invece gli eventi di lensing avvengono entro la scala galattica (parliamo quindi di eventi ricompresi quindi nel singolo volume della galassia tra oggetti astronomici tra loro comparabili ad esempio stella-su-stella), il fenomeno  viene definito microlensing: questo fenomeno non restituisce come effetto delle immagini separabili  bensì una variazione di luminosità della sorgente che aumenta sino a raggiungere un massimo e poi decresce in modo proporzionale a causa del moto relativo rispetto all’oggetto lente. Tale variazione che può essere rappresentata da una curva di luce con caratteristiche ben precise descritta nel 1986 da Paczynsky, il quale introduce per primo proprio il termine di microlensing gravitazionale. In questo caso è proprio il miglior allineamento che abbiamo rispetto all'osservatore piuttosto che la massa a potenziare l'effetto lente. Le diverse immagini non possono quindi essere separate ma appaiono come un unico oggetto con una maggiore luminosità apparente. Ovviamente non essendo nota la luminosità effettiva della sorgente non è possibile determinare il fenomeno con una unica osservazione ma solo con più osservazioni nel tempo poiché l’oggetto lente si muove lungo la linea di vista e la luminosità varia aumentando sino a raggiungere un massimo per poi diminuire simmetricamente. La microlente gravitazionale viene utilizzata anche per la scoperta di nuovi esopianeti che orbitano intorno a stelle diverse dal Sole.

Il "medio-lensing"

Ad Agosto 2017 un articolo pubblicato su Astrophysical Journal sembra evidenziare la presenza di una lente gravitazionale intermedia, generata non da una galassia intera né da una singola stella ma da un gruppo di stelle posto in un braccio galattico di una galassia interposta. Lo strumento utilizzato dal Caltech, l'Owens Valley Radio Observatory (OVRO), ha consentito così di osservare in dettaglio senza precedenti (un milionesimo di arcosecondo, corrispondente a un granello di sabbia sulla Luna osservato da Terra) dei grumi di materia espulsi periodicamente dalla zona centrale di una galassia distante, zona occupata da un buco nero centrale.

Le diverse configurazioni possibili

In base al diverso allineamento tra fonte, oggetto lente ed osservatore abbiamo diverse configurazioni di lenti gravitazionali. Poiché, come già detto, noi vediamo l'oggetto lontano non dove effettivamente si trova ma lungo la linea di prolungamento dei raggi luminosi che ci arrivano, vediamo oltre all'oggetto una sua immagine. Le immagini prodotte possono assumere le forme più disparate in base all'allineamento degli oggetti coinvolti.

Una galassia agisce da lente sia per i raggi che passano al suo interno sia per quelli che attraversano la sua distribuzione di massa: questa caratteristica fa si che il numero delle immagini prodotte per l'effetto lente sia sempre dispari (anche se a tutt'oggi il numero delle immagini gravitazionali osservate nella maggioranza dei casi è pari). In base a come è distribuita la massa della galassia si possono vedere immagini diverse ed in caso di lenti trasparenti, come gli ammassi di galassie, si riesce a  vedere anche l'oggetto vero e proprio. Se la sorgente luminosa e l'oggetto lente sono posti sulla stessa linea di vista rispetto all'osservatore, se la lente ha una forma sferica ed una distribuzione di massa omogenea non osserveremo una immagine multipla della sorgente ma un anello luminoso detto Anello di Einstein.

In presenza del medesimo allineamento perfetto visto nel caso dell'anello di Einstein ma con la galassia lente a forma ellissoidale avremo quattro oggetti disposti a forma di croce (Croce di Einstein). 

Archi ed archetti gravitazionali si ottengono quando la lente è un ammasso di galassie con distribuzione disomogenea di massa. 

In presenza di oggetti estesi e non allineati con l'asse della galassia lente le immagini gravitazionali risultanti che si possono avere sono delle strutture complesse: se l'oggetto è una galassia ellittica e la lente è un ammasso di galassie vedremo nell'immagine anche la galassia ellittica poiché l'ammasso è una lente trasparente perché pur avendo una alta concentrazione di materia, gli ampi spazi tra le galassie lasciano vedere le galassie sorgenti sullo sfondo. 

Le immagini multiple come la croce di Einstein sono effetto del c.d. strong lensing, archi ed archetti sono effetto invece del weak lensing. Una delle peculiarità del weak lensing è la deformazione della forma delle galassie sorgente e proprio grazie a questa distorsione si riescono a compiere degli studi sulla struttura a larga scala dell’universo, sulla distribuzione della materia oscura ed a misurare il contributo della energia oscura nell'espansione dell'universo. 

Nel ventunesimo secolo il fenomeno della lente gravitazionale è un fondamentale metodo di indagine in astrofisica e cosmologia. La ragione per la crescita continua delle indagini in questa direzione è che oggi le lenti gravitazionali sono molto più di un semplice fenomeno relativistico di interesse generale. Uno strumento in più per la misurazione delle misure dell'Universo e della sua espansione potrà forse provenire proprio dalle supernovae di tipo Ia amplificate da effetti di lente gravitazionale, visto che l'amplificazione stessa consente di raggiungere distanze ancora più elevate.

Ultimo aggiornamento del: 01/05/2019 20:35:52